Question

16．已知在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上不與點B，C重合的點，點E是射線AC上一點，為AD=AE，將∠CDE沿直線DE折疊，折疊后邊DC對應的射線DC′，交射線AC于點C′．
（1）如圖①，當點D在BC上時，求證：AB•CC′=BD•CD；
（2）如圖②，當點D在BC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠BAD=x，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+x，∠AED=∠C+∠EDC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，∠ADE=∠AED，證得∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD，由折疊的性質(zhì)得到∠C′DC=2∠EDC，推出△ABD∽△CDC′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠4=∠ADE，于是得到∠3=180°-2（∠1+∠2），由于∠B=∠ACB=∠3+∠1，于是得到180°-∠BAD-∠1=180°-2（∠1+∠2）+∠1，推出∠BAD=2∠2，得到∠CDC′=2∠2，證得△ABD∽△DCC′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)∠BAD=x，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+x，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC-∠EDC=∠B+x-∠EDC=∠B+∠EDC，
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠CDE沿直線DE折疊，折疊后邊DC對應的射線DC′，
∴∠C′DC=2∠EDC，
∴∠C′DC=∠BAD，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△CDC′，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{C′C}$，
∴AB•CC′=BD•CD；

（2）解：（1）中的結(jié)論成立，
理由：∵AE=AD，
∴∠4=∠ADE，
∴∠3=180°-2（∠1+∠2），
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠3+∠1，
∵∠B=180°-∠BAD-∠1，
∴180°-∠BAD-∠1=180°-2（∠1+∠2）+∠1，
∴∠BAD=2∠2，
∵∠ACB=∠DCC′，
∴∠B=∠DCC′，
∵將∠CDE沿直線DE折疊，折疊后邊DC對應的射線DC′，
∴∠CDC′=2∠2，
∴∠BAD=∠CDC′，
∴△ABD∽△DCC′，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{C′C}$，
∴AB•CC′=BD•CD．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．