Question

14．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△DBC是頂角為120°的等腰三角形，以點D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的周長=4．

Answer 1

分析 延長AB到N，使BN=CF，連接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根據(jù)SAS證△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根據(jù)SAS證△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得到BE+CF=EF，易得△AEF的周長等于AB+AC．

解答 解：如圖，延長AB到N，使BN=CF，連接DN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠NBD=∠FCD=90°}\\{BN=CF}\end{array}\right.$，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠EDF=∠EDN}\\{DN=DF}\end{array}\right.$，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴AB=AC=2，
∵BE+CF=EF，
∴△AEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合運用．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．