Question

13．如圖，拋物線y=ax²+bx-3經(jīng)過點(diǎn)A（2，-3），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在y軸上，且∠BDO=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；
（2）連接AC，作BF⊥AC交AC的延長線于F，根據(jù)已知條件得到AF∥x軸，得到F（-1，-3），設(shè)D（0，m），則OD=|m|即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)M（a，a²-2a-3），N（1，n），①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖2，過M作ME⊥對稱軸y于E，AF⊥x軸于F，于是得到△ABF≌△NME，證得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB為對角線，BN=AM，BN∥AM，如圖3，則N在x軸上，M與C重合，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）由y=ax²+bx-3得C（0．-3），
∴OC=3，
∵OC=3OB，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
把A（2，-3），B（-1，0）代入y=ax²+bx-3得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b-3=-3}\\{a-b-3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）設(shè)連接AC，作BF⊥AC交AC的延長線于F，
∵A（2，-3），C（0，-3），
∴AF∥x軸，
∴F（-1，-3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
設(shè)D（0，m），則OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D₁（0，1），D₂（0，-1）；
（3）設(shè)M（a，a²-2a-3），N（1，n），
①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖2，過M作ME⊥對稱軸y于E，AF⊥x軸于F，
則△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a-1|=3，
∴a=4或a=-2，
∴M（4，5）或（-2，5）；
②以AB為對角線，BN=AM，BN∥AM，如圖3，
則N在x軸上，M與C重合，
∴M（0，-3），
綜上所述，存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．