Question

已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于（x₁，0），（x₂，0），且0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，交y軸于（0，-2），則在①2a+b＞1，②3a+b＞0，③a+b＜2，④a＜-1中正確的有

 

．（填序號）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：首先根據(jù)拋物線的開口方向判斷出a的符號，再根據(jù)與y軸交點(diǎn)求出c=-2，
①將x=2代入原方程，可知此時(shí)y＜0，再根據(jù)c=-2即可求出2a+b＜1；
②根據(jù)0＜x₁＜1，1＜x₂＜2判斷出1＜x₁+x₂＜3，再根據(jù)x₁+x₂=-

b

a

，判斷出1＜-

b

a

＜3，可知3a+b＜0；
③將x=1代入y=a+b+c＞0，結(jié)合c=-2，可知a+b＞-c，即得a+b＞2；
④根據(jù)0＜x₁x₂＜2和x₁x₂=

c

a

＜2，求出c=-2，可判斷a＜-1．

解答：解：如圖：
0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，并且圖象與y軸相交于點(diǎn)（0，-2），
可知該拋物線開口向下即a＜0，c=-2，
①當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c＜0，即4a+2b＜-c；
∵c=-2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜x₁+x₂＜3，
又∵x₁+x₂=-

b

a

，
∴1＜-

b

a

＜3，
∴3a+b＜0，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c＞0，
∵c=-2，
∴a+b＞-c，
即a+b＞2，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④∵0＜x₁x₂＜2，x₁x₂=

c

a

＜2，
又∵c=-2，
∴a＜-1．
故本選項(xiàng)正確．
故答案為：④．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)圖象找到所需的條件，同時(shí)利用根與系數(shù)的關(guān)系及不等式的性質(zhì)是解題的基本思路．