Question

2．將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．動點Q從點O出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動$\frac{2}{3}$秒時，動點P從點A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點O運動．當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．
（1）求點B的坐標(biāo)，并用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；
（2）當(dāng)t=1時，如圖1，將△OPQ沿PQ翻折，點O恰好落在CB邊上的點D處，求點D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，矩形對角線AC，BO交于M，取OM中點G，BM中點H，求證：當(dāng)t=1時四邊形DGPH是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）由O（0，0），A（6，0），C（0，3），可得：OA=6，OC=3，根據(jù)矩形的對邊平行且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，進而可得點B的坐標(biāo)為：（6，3），然后根據(jù)P點與Q點的運動速度與運動時間即可用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；
（2）由翻折的性質(zhì)可知：△OPQ≌△DPQ，進而可得：DQ=OQ，然后由t=1時，DQ=OQ=$\frac{5}{3}$，CQ=OC-OQ=$\frac{4}{3}$，然后利用勾股定理可求CD的值，進而可求點D的坐標(biāo)；
（3）由（1），（2）知：當(dāng)t=1時，CD=AP=1，OA=BC=6，進而可得：BD=OP=5，然后由矩形的性質(zhì)可得：OG=BH，∠CBO=∠AOB，然后根據(jù)SAS證明△POG≌△DBH，進而可得PG∥DH，PG=DH，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求證：當(dāng)t=1時四邊形DGPH是平行四邊形．

解答 （1）解：∵O（0，0），A（6，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3，
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC=3，BC=OA=6，
∴B（6，3），
∵動點Q從O點以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動$\frac{2}{3}$秒時，動點P從點A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點O運動．
∴當(dāng)點P的運動時間為t（秒）時，
AP=t，OQ=$\frac{2}{3}$+t，
則OP=OA-AP=6-t；
（2）解：當(dāng)t=1時，OQ=$\frac{5}{3}$，則CQ=CQ=OC-OQ=$\frac{4}{3}$，
由折疊可知：△OPQ≌△DPQ，
∴OQ=DQ=$\frac{5}{3}$，
由勾股定理，得：CD=1，
∴D（1，3）；
（3）證明：如圖所示，

由（1），（2）知：當(dāng)t=1時，
CD=AP=1，OA=BC=6
∴BC-CD=OA-AP，即BD=OP=5，
∵四邊形OABC是矩形，
∴OM=MB，OA∥BC，
∵G為OM中點，H為BM中點，
∴OG=BH，
∵OA∥BC，
∴∠CBO=∠AOB，
在△POG和△DBH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=OP}\\{∠CBO=∠AOB}\\{BH=OG}\end{array}\right.$，
∴△POG≌△DBH（SAS），
∴∠OGP=∠BHD，PG=DH，
∴∠MGP=∠DHM，
∴PG∥DH，
∵PG=DH，
∴四邊形DGPH是平行四邊形．
故當(dāng)t=1時四邊形DGPH是平行四邊形．

點評 此題是四邊形的綜合題，主要考查了動點的問題、矩形的性質(zhì)、平行四邊的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解（1）的關(guān)鍵是：明確矩形的對邊相等；解（2）的關(guān)鍵是：由翻折的性質(zhì)可知：△OPQ≌△DPQ；解（3）的關(guān)鍵是：根據(jù)SAS證明△POG≌△DBH．