Question

8．已知關于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根；
（2）若關于x的二次函數(shù)y=mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，求m的整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）先分兩種情況討論，當m=0時方程的解為2和當m≠0時，△=b²-4ac=（m+1）²≥0有實數(shù)根，得出無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根；
（2）根據(jù)（1）求出x的根，再根據(jù)x為整數(shù)，m為整數(shù)，求出m的值，從而求出x的值，再根據(jù)，x₁≠x₂，且x為正整數(shù)，即可求出m的值．

解答 解：（1）分兩種情況討論．
①當m=0時，方程為x-2=0
∴x=2，方程有實數(shù)根；                          
②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1 
=（m+1）²≥0，
不論m為何實數(shù)，△≥0成立，
∴方程恒有實數(shù)根
綜合上所述可知m取任何實數(shù)，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有實數(shù)根；

（2）設x₁，x₂為拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸交點的橫坐標．
則有 x₁=$\frac{3m-1-m-1}{2m}$=1-$\frac{1}{m}$，
x₂=$\frac{3m-1+m+1}{2m}$=2                  
∵x為整數(shù)，m為整數(shù)，
∴m=1，-1，
∴x₁=0，2，
∵x₁≠x₂，且x為正整數(shù)，
∴m=1．

點評 此題主要考查了根的判別式，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根是本題的關鍵．