Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=

3

3

x+2

3

與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線BC垂直于直線AB，交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位向終點(diǎn)原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿著射線BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)D到達(dá)終點(diǎn)時(shí)都停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求直線BC的解析式；
（2）作DP垂直x軸交直線AB于點(diǎn)P，連結(jié)PQ交x軸于E點(diǎn)，取EQ的中點(diǎn)M，過M點(diǎn)作EQ的垂線交y軸于點(diǎn)N，求線段0N的長(zhǎng)；
（3）作出點(diǎn)N關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)PF交BC于點(diǎn)H，在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在△PEH是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：（1）求得BC的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；
（2）先求得△PGE≌△QCE，得到△N′QE是等邊△，連接N′M，進(jìn)一步得N′M是EQ的中位線，即N′就是N，再連接BE，有BE=EQ，BE=EN，ON=OB，即線段ON的長(zhǎng)為2

3

；
（3）分兩種情況：一、即E和O重合．此時(shí)t=1；二、求得PH直線的斜率為-

a 3

6

．進(jìn)一步求得此時(shí)t=

4

3

．

解答：解：（1）在y=

3

3

x+2

3

中令x=0，解得：y=2

3

，則B的坐標(biāo)是：（0，2

3

），令y=0解得：x=3，則A的坐標(biāo)是：（-3，0）．
則OA=3，OB=2

3

，
∵tan∠BAC=tan∠OBC=

3

3

=

OC

OB

，
∴OC=2，
∴C的坐標(biāo)是（2，0），
設(shè)直線BC的解析式是：y=kx+b，則

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=2 3

，
則BC的解析式是：y=-

3

x+2

3

；
（2）作PG∥BC，交AC于G，則

PG=2DG，AG=2PG，
∴AD=AG-DG=4DG-DG=3DG．
∴AD：PG=3DG：2DG=3：2．
而AD：CQ=3：2，
∴PG=CQ．再由PG∥CQ，
∴△PGE∽△QCE．
∴△PGE≌△QCE，即PE=EQ．
過直角△BQP作外接圓I，設(shè)圓I與y軸相交于點(diǎn)N，′
則∠PN′Q=90°，∠N′QP=∠PBN′=60°．
∴△N′QE是等邊△，連接N′M，
∵M(jìn)是EQ中點(diǎn)，
∴N′M是EQ的中位線，即N′就是N，再連接BE，有BE=EQ，
∴BE=EN，
∴ON=OB，即線段ON的長(zhǎng)為2

3

；
（3）由（2）易知△NPF是等邊△，∠EPH=∠EPN=30^°，

若∠PEH=90°，則P、B、H、E四點(diǎn)共圓，
∴∠HBE=∠HPE=30°，即E和O重合．
即PO=QO=BO=2

3

，即P是AB中點(diǎn)．
∴D是AO中點(diǎn)，即|AO|=3．
此時(shí)t=1；
若∠PHE=90°，∵∠EPH=30°，
∴∠HEP=∠NEQ=60°．
∴N，E，H三點(diǎn)共線．
設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（a，0），則NE直線方程為y=

2 3 x

a

-2

3

，
結(jié)合BC直線方程y=-

3

x+2

3

，可得
點(diǎn)H坐標(biāo)為(

4a

2+a

，

2 3 (2-a)

2+a

)，
又∵|OE|=a，
∴|CE|=2-a，|CG|=2|CE|=4-2a，
∴|AG|=|AC|-|CG|=8-4+2a=4+2a．
∴|AD|=3|AG|/4=3+

3a

2

．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3a

2

-3，0）．
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3a

2

-3，

3 a

2

+

3

）．
由HP兩點(diǎn)坐標(biāo)即可得PH直線的斜率

3 a 2 + 3 - 2 3 (2-a) 2+a

3a 2 -3- 4a 2+a

，
又∵PH⊥NH，直線NH斜率為

2 3

a

，
∴PH直線的斜率為-

a 3

6

．
即

3 a 2 + 3 - 2 3 (2-a) 2+a

3a 2 -3- 4a 2+a

=-

a 3

6

．
化簡(jiǎn)得（a²+12）（3a-2）=0
∴a=

2

3

，即|AD|=3+

3a

2

=4，
∴此時(shí)t=

4

3

．
綜上知，僅當(dāng)t=1或

4

3

時(shí)，△PEH是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度較大．