Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．

（1）求證：AE⊥DE；

（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）首先連接OC，由OC=OA，，易證得OC∥AE，又由DE切⊙O于點C，易證得AE⊥DE；

（2）由AB是⊙O的直徑，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC為直角三角形，根據AE=3求得AC的長，然后連接OF，可得△OAF為等邊三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知條件求得答案．

試題解析：（1）證明：連接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于點C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）【解析】
∵AB是⊙O的直徑，

∴△ABC是直角三角形，

∵∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC為直角三角形，AE=3，

∴AC=2，

連接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF為等邊三角形，

∴AF=OA=AB，

在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2．

考點：切線的性質．