Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，AP=2$\sqrt{5}$，點(diǎn)C在第一象限，∠APC=90°，如果△AOP∽△APC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，1）．

Answer 1

分析 先過(guò)點(diǎn)C作CB⊥x軸于B，根據(jù)勾股定理求得OP的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得PC的長(zhǎng)，再判定△AOP∽△PBC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得BC和PB的長(zhǎng)，最后得出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CB⊥x軸于B，則∠PBC=90°，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），AP=2$\sqrt{5}$，
∴Rt△AOP中，OP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$=2，
∵△AOP∽△APC，
∴$\frac{AO}{AP}$=$\frac{OP}{PC}$，即$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{PC}$，
∴PC=$\sqrt{5}$，
∵∠APC=90°=∠AOP，
∴∠OAP+∠APO=90°=∠BPC+∠APO，
∴∠OAP=∠BPC，
又∵∠PBC=90°=∠AOP，
∴△AOP∽△PBC，
∴$\frac{PC}{AP}$=$\frac{BC}{OP}$=$\frac{BP}{OA}$，即$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{BC}{2}$=$\frac{BP}{4}$，
∴BC=1，BP=2，
∴OB=2+2=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，1）．
故答案為：（4，1）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)得出線段的長(zhǎng)度．