Question

已知，如圖，平行四邊形ABCD中，∠BDC的平分線DE交直線AB于E，取DE中點M并連接CM、BM．
（1）直接寫出線段BM和DE的位置關(guān)系．
（2）若BD=2DC，則△DCM的形狀是

 

，證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由平行四邊形ABCD中，∠BDC的平分線DE交直線AB于E，易證得△BDE是等腰三角形，又由取DE中點M，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得BM⊥DE；
（2）首先取BD的中點N，連接MN，由三角形中位線的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，易證得四邊形CDNM是菱形，繼而可得△DCM是等腰三角形．

解答：解：（1）BM⊥DE．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE=∠E，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE，
∴∠BDE=∠E，
∴BD=BE，
∵M是DE中點，
∴BM⊥DE；

（2）△DCM是等腰三角形．
理由：取BD的中點N，連接MN，
∵BM⊥DE，
∴MN=DN=

1

2

BD，
∵BD=2CD，
∴CD=DN=MN，
∵M是DE的中點，
∴MN∥BE，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴四邊形CDNM是平行四邊形，
∴?CDNM是菱形，
∴CD=CM．
∴△DCM是等腰三角形．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．