Question

18．解方程：
（1）2x²-5x+2=0
（2）16（x+5）²-8（x+5）=0
（3）x²+4x-1=0
（4）（x+1）（x+2）=2x+4
（5）$\frac{x-1}{x}$+$\frac{x}{x-1}$=$\frac{5}{2}$
（6）已知x為實數(shù)，且$\frac{3}{{x}^{2}+3x}$-（x²+3x）=2，求x²+3x的值．

Answer 1

分析 （1）將方程左右兩邊同時除以2變形，且常數(shù)項移到右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個非負常數(shù)，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）等式的左邊利用提取公因式8（x+5）進行因式分解；
（3）首先把方程移項變形為x²+4x=1的形式，然后在方程的左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數(shù)，然后利用平方根的定義即可求解；
（4）先將方程右邊分解因式，得（x+1）（x+2）=2（x+2），再移項，使方程右邊為0，然后將左邊分解因式，即可求解；
（5）設(shè)y=$\frac{x-1}{x}$，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程，通過解新的分式方程求得y的值，然后解關(guān)于x的分式方程；
（6）設(shè)t=x²+3x，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的分式方程，通過解新的分式方程求得t的值．

解答 解：（1）2x²-5x+2=0，
變形得：x²-$\frac{5}{2}$x=-1，
配方得：x²-$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{16}$=$\frac{9}{16}$，即（x-$\frac{5}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，
開方得：x-$\frac{5}{4}$=±$\frac{3}{4}$，
則x₁=2，x₂=-$\frac{1}{2}$；

（2）16（x+5）²-8（x+5）=0，
8（x+5）（2x+10-1）=0，即8（x+5）（2x+9）=0，
所以x+5=0或2x+9=0，
解得x₁=-5，x₂=-4.5；

（3）x²+4x-1=0，
移項得，x²+4x=1，
配方得，x²+4x+4=1+4，
（x+2）²=5，
開方得，x+2=±$\sqrt{5}$，
解得，x₁=-2+$\sqrt{5}$，x₂=-2-$\sqrt{5}$；

（4）（x+1）（x+2）=2x+4，
（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，
（x+2）（x-1）=0，
則（x+2）=0或（x-1）=0，
解得x₁=-2，x₂=1；

（5）$\frac{x-1}{x}$+$\frac{x}{x-1}$=$\frac{5}{2}$，
設(shè)y=$\frac{x-1}{x}$，則
y+$\frac{1}{y}$=$\frac{5}{2}$，
整理，得
（y-2）（2y-1）=0，
解得y=2或y=$\frac{1}{2}$．
經(jīng)檢驗y=2、y=$\frac{1}{2}$都是原方程的根．
當y=2時，$\frac{x-1}{x}$=2，解得：x=-1；
當y=$\frac{1}{2}$時，$\frac{x-1}{x}$=2，解得：x=2；
經(jīng)檢驗x=-1、x=2都是原方程的根．
所以原方程的解為：x₁=-1，x₂=2；

（6）設(shè)t=x²+3x，則$\frac{3}{t}$-t=2，
整理，得
（t-1）（t+3）=0，
解得t=1或t=-3．
經(jīng)檢驗，t=1或t=-3都是原方程的根．
即x²+3x的值是1或-3．

點評 本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．