Question

10．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE=CF；②當(dāng)AD=2時(shí)，EF與半圓相切；③線段EF的最小值為4；④若點(diǎn)F恰好落在BC上，則AD=4．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 ①連接CD，如圖1，由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE=CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證得CE=CF；
②連接DC、OC，如圖2，易證△AOC是等邊三角形，AD=OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO=90°，即可得到EF與半圓相切；
③連接CD，如圖3，根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最�。�由于EF=2CD，只需求出CD的最小值，就可求出EF的最小值；
④若點(diǎn)F恰好落在BC上，則點(diǎn)D、F重合于點(diǎn)B，此時(shí)AD=AB=8．

解答 解：①連接CD，如圖1所示．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴結(jié)論①正確；

②當(dāng)AD=2時(shí)，連接CD、OC，如圖2所示．

∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等邊三角形，
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2，
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，即OC⊥EF．
∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切．
∴結(jié)論②正確；

③當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖3所示．

∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4$\sqrt{3}$．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$．
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：
點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為2$\sqrt{3}$．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD，
∴線段EF的最小值為4$\sqrt{3}$．
∴結(jié)論③錯(cuò)誤；

④若點(diǎn)F恰好落在BC上，
則有點(diǎn)D、F重合于點(diǎn)B，此時(shí)AD=AB=8，
∴結(jié)論④錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂線段最短、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析．