Question

4．如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是線段BC上一動點（不含端點B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上，連接FC．
（1）求證：△ADG≌△ABE；
（2）圖1中，當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，請求出∠FCN的大小；
（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數(shù)），判斷當點E由B向C運動時，∠FCN的大小是否總保持不變，若∠FCN的大小不變，請用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發(fā)生改變，請舉例說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形、矩形的性質(zhì)以及同角的余角相等得到∠BAE=∠DAG，根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BAE≌△DAG；
（2）作FH⊥MN于H，證明△EHF≌△ABE，得到FH=BE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠FCN的度數(shù)；
（3）作FP⊥MN于P，證明△EFP≌△AGD，得到EP=AD=BC=b，證明△EFP∽△AEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正切的概念解答即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是矩形，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAG=∠ABE=∠ADG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ADG和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAG}\\{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADG}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△DAG（AAS）；
（2）∠FCN=45°．
理由如下：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
∵∠EBA=∠FHE=90°，∠BAE=∠FEH，
∵Rt△BAE≌Rt△DAG，
∴AE=AG=EF，
在△EHF和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠HEF}\\{ABE=∠EHF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△ABE（AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCH=45°；
（3）當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變．
理由如下：如圖（2）作FP⊥MN于P．
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
結(jié)合（1）易得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，∴∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
在△EFH和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDA=∠FPE}\\{∠DAG=∠FEP}\\{AG=EF}\end{array}\right.$，
∴△EFP≌△AGD（AAS），
∴EP=AD=BC=b，CP=BE，
∵∠BAE=∠FEP，∠ABE=∠FPE，
∴△EFP∽△AEB，
∴$\frac{EP}{AB}=\frac{FP}{BE}=\frac{EP}{CP}$，
∵在Rt△FEH中，tan∠FCN=$\frac{FP}{CP}=\frac{EP}{AB}=\frac{a}$，
∴當點E沿射線CN運動時，tan∠FCN=$\frac{a}$．

點評 本題考查的是正方形和矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．