Question

如圖，以△ABC各邊向同一側(cè)作三個等邊三角形△ABD，△ACE，△BCF．
（1）四邊形AEFD是什么形狀？
（2）當△ABC滿足條件

 

時，四邊形AEFD不存在；
（3）在△ABC中，當AC=3，AB=4，BC=5時，求四邊形AEFD的面積．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,推理填空題

分析：（1）首先證明△ABC≌△DBF可得AC=DF=AE，再證明△ABC≌△EFC可得AB=EF=AD，進而可證明四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）A與F重合，四邊形AEFD不存在，也就是△ABC是等邊三角形時；
（3）根據(jù)AB=4，AC=3，BC=5可利用勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，然后得到∠DAE=150°，然后計算出∠FDA=180°-∠DAE=30°，再利用平行四邊形的面積公式計算出面積即可．

解答：解：（1）四邊形AEFD是平行四邊形；
∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，BD=BA，BF=BC
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC與△DBF中，

BD=BA ∠DBF=∠ABC FB=CB

，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE，
同理可證△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD，
∴四邊形DAEF是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．

（2）△ABC是等邊三角形時，A與F重合，四邊形AEFD不存在；

（3）∵如圖，△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
∴BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵四邊形DAEF是平行四邊形，
∴FD∥AE，
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°，
∴S_?AEFD=AD•DF•sin30°=3×4×

1

2

=6．
答：四邊形AEFD的面積是6．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、判定，面積計算，以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．