Question

已知△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=90°，AC=BC=2．要在這張紙板中剪取正方形．如圖1所示的剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s₁；按照圖1的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取兩個全等的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積之和為s₂（如圖2）；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪去正方形，得到四個全等的正方形，成為第3次剪取，并記這四個正方形面積之和為S₃（如圖3）；繼續(xù)剪取下去…；則第n此剪取時，S_n=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)題意可求得△ABC的面積，且可得出每個正方形是所以三角形面積的一半，即為上一次剪得的正方形面積的一半，可得出S_n與△ABC的面積之間的關(guān)系，可求得答案．

解答：解：∵AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，
∵四邊形CEDF為正方形，
∴DE⊥AC，
∴AE=DE=DF=BF，
∴S_{正方形CEDF}=CE•CF=

1

2

AC•

1

2

BC=

1

2

S_△ABC=1，
同理每次剪得的正方形的面積都是所在三角形面積的一半，
∴S₂=

1

2

S_△AED+

1

2

S_△BDF=

1

2

S_{正方形CEDF}=

1

2

S₁，
同理可得S₃=

1

2

S₂=（

1

2

）²S₁，
依此類推可得S_n=（

1

2

）^n-1S₁=（

1

2

）^n-1，
故答案為：（

1

2

）^n-1．

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)條件找到S_n與S₁之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．注意規(guī)律的總結(jié)與歸納．