Question

14．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點P是對角線AC上的一動點（點P與點A、C不重合）
（1）如圖1，如果AP=3，求△PAB的面積；
（2）如圖2，過點P作PQ⊥PB，PQ分別交射線BC和射線DC于點E、Q．
①設PB=x，PQ=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)定義域；
②如果CQ=1，寫出AP的長．（不必寫出解題過程）

Answer 1

分析 （1）作PG⊥AB于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到$\frac{AP}{AC}$=$\frac{GP}{BC}$，代入計算求出PG，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；
（2）①過P作MN∥BC交AB于M，交DC于N，證明△PMB∽△QNP，得到$\frac{PB}{PQ}$=$\frac{BM}{PN}$=$\frac{3}{4}$，代入即可得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式；
②設CN=3a，則PN=4a，PC=5a，NQ=3a+1，根據(jù)△PMB∽△QNP得到比例式，求出a的值，計算即可．

解答 解：如圖1，作PG⊥AB于G，
∵∠ABC=90°，AB=3，AD=4，
∴AC=5，
∵PG⊥AB，∠ABC=90°，
∴PG∥BC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{GP}{BC}$，
∴GP=$\frac{12}{5}$，
∴△PAB的面積=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{12}{5}$=$\frac{18}{5}$；
（2）①如圖2，過P作MN∥BC交AB于M，交DC于N，
則BM=CN，
∵PN∥AD，
∴$\frac{CN}{PN}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BM}{PN}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠MPB+∠QPN=90°，∠Q+∠QPN=90°，
∴∠MPB=∠Q，又∠PMB=∠QNP=90°，
∴△PMB∽△QNP，
∴$\frac{PB}{PQ}$=$\frac{BM}{PN}$=$\frac{3}{4}$，即y=$\frac{4}{3}$x（$\frac{12}{5}$≤x≤4）；
②設CN=3a，則PN=4a，PC=5a，NQ=3a+1，
∵△PMB∽△QNP，
∴$\frac{NQ}{MP}$=$\frac{PN}{MB}$，即$\frac{3a+1}{4-4a}$=$\frac{4a}{3a}$，
解得，a=$\frac{13}{25}$，
則PC=5a=$\frac{13}{5}$，
∴AP=5-$\frac{13}{5}$=$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運用相關的定理是解題的關鍵．