Question

15．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)．若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求出AP的長(zhǎng)，即可得到P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．
設(shè)AP的長(zhǎng)為x，則BP長(zhǎng)為12-x．
若AB邊上存在P點(diǎn)，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：
①若△APD∽△BPC，則AP：BP=AD：BC，
即x：（12-x）=4：9，
解得：x=$\frac{48}{13}$；
②若△APD∽△BCP，則AP：BC=AD：BP，
即x：9=4：（12-x），
解得：x=6．
∴滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，難度適中，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．