Question

如圖，AB=10，AC=8，BC=6，M是AB的中點，點D在線段AC上，且D是MN的中點，ME⊥AC于點E，NF⊥AC于點F．設AD=x，DM=y．
（1）求NF；
（2）確定x與y的數(shù)量關系；
（3）若⊙N的半徑為AN，那么x分別取何值時，⊙N與直線AC、AB、BC相切．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先由勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，進而得ME∥BC，求得ME=

1

2

BC=3，再根據(jù)ME∥FN即可求得NF的長；
（2）先用x表示出ED，再在在Rt△MED中，由勾股定理即可得答案；
（3）延長MA到P，使MA=AP；連接MC，并延長到Q，使MC=CQ；連接PQ，則不論x取何值，點N總在PQ上．再分三種情況討論即可．

解答：解：（1）∵AC²+BC²=8²+6²=100，AB²=10²=100；  
∴AB²=AC²+BC²．
∴∠ACB=90°．
∵ME⊥AC于點E，
∴∠AEM=∠ACB=90°．
∴ME∥BC．
∵M是AB的中點，
∴ME=

1

2

BC=3．
∵D是MN的中點，
∴MD=ND．
∵NF⊥AC于點F，
∴ME∥FN．
∴

FN

ME

=

ND

MD

．
∴NF=ME=3；

（2）∵ME∥BC，M是AB的中點，
∴AE=EC=

1

2

AC=4．
∴ED=x-4．
∴在Rt△MED中，由勾股定理得，
DM²=ME²+DE²，
即y²=3²+（x-4）²，
y²=x²-8x+25；
（3）延長MA到P，使MA=AP；
連接MC，并延長到Q，使MC=CQ；
連接PQ，則不論x取何值，點N總在PQ上．
①作AN₁⊥AC，如圖1交PQ于點N₁，
則⊙N₁與AC相切于點A．
設MN₁與AC交于點D₁，x=

1

2

AE=

1

2

×4，此時，x=2．
②作AN₂⊥AB，如圖2，交PQ于點N₂，
則⊙N₂與AB相切于點A．
設MN₂與AC交于點D₂，則有3²+（4-x）²=x²，
解得x=

25

8

．
③取點N₃，如圖3，使N₃到BC的距離等于A N₃，
則⊙N₃與BC相切．設MN₃與AC交于
點D₃，則有3²+（2x-4）²=（12-2x）²
解得x=

119

32

．

點評：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等，綜合性較強．