Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，點(diǎn)P在BC上．若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則m=AP²+BP•PC的值為4；若BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)P₁，P₂，…，P₁₀₀，且m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…，100），則m=m₁+m₂+…+m₁₀₀ 的值為400．

Answer 1

分析 第一個(gè)空，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)和勾股定理得出AP²+BP•PC=AB²即可；
第二個(gè)空，作AD⊥BC于D．根據(jù)勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，從而求得m_i=AD²+BD²，即可求解．

解答 解：若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，如圖1所示：
AB=AC=2，
∴AP⊥BC，BP=CP，
∴∠APB=90°，
∴AP²+BP•PC=AP²+BP²=AB²=4．
若BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)P₁，P₂，…，P₁₀₀，
作AD⊥BC于D，則BC=2BD=2CD，如圖2所示．
根據(jù)勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又∵P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴m₁=AD²+BD²=AB²=4，
∴m₁+m₂+…+m₁₀₀=4×100=400．
故答案為：4，400．

點(diǎn)評 此題主要運(yùn)用了勾股定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)；作輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的突破點(diǎn)，另外代入進(jìn)行整理后代換出PC也是同學(xué)們不容易考慮到的．