Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點A（1，

3

）．
（1）試確定此反比例函數(shù)的解析式；
（2）點O是坐標(biāo)原點，將線段OA繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB，判斷點B是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,勾股定理,坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專題：待定系數(shù)法

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征計算k的值；
（2）過點A作x軸的垂線交x軸于點C，過點B作x軸的垂線交x軸于點D，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理計算出OA=2，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到
∠OAC=30°，則∠AOC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOB=30°，OB=OA=2，所以∠BOD=30°，在Rt△BOD中，計算出BD=

1

2

OB=1，OD=

3

BD=

3

，于是得到B點坐標(biāo)為（

3

，1），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征判斷B點在反比例函數(shù)圖象上．

解答：解：（1）把A（1，

3

）代入y=

k

x

，
得k=1×

3

=

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；

（2）點B在此反比例函數(shù)的圖象上．理由如下：
過點A作x軸的垂線交x軸于點C，過點B作x軸的垂線交x軸于點D，如圖，
在Rt△AOC中，OC=1，AC=

3

，OA=

AC2+OC2

=2，
∴∠OAC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵線段OA繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOD=30°，
在Rt△BOD中，BD=

1

2

OB=1，OD=

3

BD=

3

，
∴B點坐標(biāo)為（

3

，1），
∵當(dāng)x=

3

時，y=

3

x

=1，
∴點B（

3

，1）在反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象上．

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=

k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理．