Question

19．已知拋物線y=3ax²+2bx+c，
（1）若a=3k，b=5k，c=k+1，試說明此類函數(shù)圖象都具有的性質(zhì)；
（2）若a=$\frac{1}{3}$，c=2+b且拋物線在-2≤x≤2區(qū)間上的最小值是-3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在實(shí)數(shù)x，使得相應(yīng)的y的值為1，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將a=3k，b=5k，c=k+1代入y=3ax²+2bx+c，可化為y=9kx²+10kx+k+1=（9x²+10x+1）k+1，令9x²+10x+1=0，解得${x_1}=-1，{x_2}=-\frac{1}{9}$，即可求得圖象必過（-1，1），（$-\frac{1}{9}$，1），根據(jù)對稱軸公式求得x=-$\frac{10k}{2×9k}$=$-\frac{5}{9}$．
（2）a=$\frac{1}{3}$，c=2+b，則拋物線可化為y=x²+2bx+b+2，其對稱軸為x=-b，以-1≤x≤2為區(qū)間，討論b的取值，根據(jù)最小值為-3，可得出方程，求出b的值即可．
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，表示出方程的判別式的表達(dá)式，利用配方法及完全平方的非負(fù)性即可判斷出結(jié)論；

解答 解：（1）∵a=3k，b=5k，c=k+1，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c可化為y=9kx²+10kx+k+1=（9x²+10x+1）k+1
∴令9x²+10x+1=0，
解得${x_1}=-1，{x_2}=-\frac{1}{9}$
∴圖象必過（-1，1），（$-\frac{1}{9}$，1），
∴對稱軸為直線x=-$\frac{10k}{2×9k}$=$-\frac{5}{9}$．
（2）∵a=$\frac{1}{3}$，c=2+b，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c可化為y=x²+2bx+2+b
∴對稱軸為直線x=-b
當(dāng)-b＞2時即b＜-2，
x=2時y取到最小值為-3．
∴4+4b+2+b=-3，解得b=$-\frac{9}{5}$（不符合），
當(dāng)-b＜2時即b＞-2，
x=2時y取到最小值為-3．
∴4+4b+2+b=-3，解得b=3；
當(dāng)-2＜-b＜2時即-2＜b＜2，$\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}=\frac{{4（2+b）-4{b^2}}}{4}=-3$
解得：${b_1}=\frac{{1+\sqrt{21}}}{2}（不符合），{b_2}=\frac{{1-\sqrt{21}}}{2}$，
∴b=3或$\frac{{1-\sqrt{21}}}{2}$，
（3）∵a+b+c=1，
∴c-1=-a-b
令y=1，則3ax²+2bx+c=1．
△=4b²-4（3a）（c-1），
∴△=4b²+4（3a）（a+b）=9a²+12ab+4b²+3a²=（3a+2b）²+3a²，
∵a≠0，
∴（3a+2b）²+3a²＞0，
∴△＞0，
∴存在必實(shí)數(shù)x，使得相應(yīng)的y的值為1．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了一元二次方程的解，求根公式及根與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵是分類討論，此題難度較大．