Question

12．問題解決
（1）如圖1，△ABC中，經(jīng)過點(diǎn)A的中線AD把△ABC分成△ASD和△ACD，則△ABD的面積S₁等于△ACD的面積S₂，請你說明理由：
問題應(yīng)用
（2）如圖2，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，△ABC的面積12，則△ABF的面積3；
問題拓展
（3）如圖3，四邊形ABCD中，O是內(nèi)部任意一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，四邊形AFOE的面積為3，四邊形BGOF的面積為5，四邊形CHOG的面積為4．求四邊形DEOH的面積；
（4）如圖4，邊長為2正方形ABED與邊長為2等腰直角三角形ABC拼合在一起．請你畫出過點(diǎn)A作一條直線把四邊形ADEC的面積分成相等的兩部分．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H；由三角形的面積公式得出△ABD的面積S₁=$\frac{1}{2}$BD•AH，△ACD的面積S₂=$\frac{1}{2}$CD•AH，由D為BC的中點(diǎn) 得出BD=CD，即可得出結(jié)論；
（2）由中點(diǎn)的性質(zhì)得出△ABD的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積=6，△ABF的面積=$\frac{1}{2}$△ABD的面積=3即可；
（3）連接OA、OB、OC、OD，設(shè)△AOE的面積為m，由中點(diǎn)的性質(zhì)得出△AOE的面積=△DOE的面積=m，△AOF的面積=△BOF的面積，△BOG的面積=△COG的面積，△DOH的面積=△COH的面積，得出△AOF的面積=△BOF的面積=3-m，同理得：△BOG的面積=△COG的面積=2+m，△DOH的面積=△COH的面積=2-m，得出四邊形DEOH的面積=△DOE的面積+△DOH的面積=2即可；
（4）連接AE，由已知條件得出△ABC的面積=$\frac{1}{2}$正方形ABED的面積=△ABE的面積=△ADE的面積，取BE的中點(diǎn)M，作直線AM，則△ABM的面積=△AEM的面積，∴△ACM的面積=四邊形ADEM的面積即可．

解答 （1）證明：如圖1，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H；
∵△ABD的面積S₁=$\frac{1}{2}$BD•AH，△ACD的面積S₂=$\frac{1}{2}$CD•AH，
又∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴S₁=S₂；
（2）解：∵D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，△ABC的面積12，
∴△ABD的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積=6，△ABF的面積=$\frac{1}{2}$△ABD的面積=3；
故答案為：3；
（3）解：如圖3，連接OA、OB、OC、OD，
設(shè)△AOE的面積為m，
∵E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，
∴△AOE的面積=△DOE的面積=m，△AOF的面積=△BOF的面積，△BOG的面積=△COG的面積，△DOH的面積=△COH的面積，
又∵四邊形AFOE的面積為3，四邊形BGOF的面積為5，四邊形CHOG的面積4
∴△AOF的面積=△BOF的面積=3-m，
同理得：△BOG的面積=△COG的面積=5-（3-m）=2+m，△DOH的面積=△COH的面積=4-（2+m）=2-m，
∴四邊形DEOH的面積=△DOE的面積+△DOH的面積=m+2-m=2；
（4）解：連接AE，邊長為2正方形ABED與邊長為2等腰直角三角形ABC拼合在一起．
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$正方形ABED的面積=△ABE的面積=△ADE的面積，
取BE的中點(diǎn)M，作直線AM，
則△ABM的面積=△AEM的面積，
∴△ACM的面積=四邊形ADEM的面積，
即直線AM把四邊形ADEC的面積分成相等的兩部分，如圖4所示．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了三角形的中線性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟記三角形的中線把三角形面積分成相等的兩部分是解決問題的關(guān)鍵．