Question

對x，y定義一種新運算T，規(guī)定：T（x，y）=

ax+by

2x+y

（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）=

a×0+b×1

2×0+1

=b．
（1）已知T（1，-1）=-2，T（4，2）=1．
①求a，b的值；
②若關于m的不等式組

T(2m，5-4m)≤4 T(m，3-2m)＞p

恰好有3個整數(shù)解，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）若T（x，y）=T（y，x）對任意實數(shù)x，y都成立（這里T（x，y）和T（y，x）均有意義），則a，b應滿足怎樣的關系式？

Answer 1

考點：分式的混合運算,解二元一次方程組,一元一次不等式組的整數(shù)解

專題：新定義

分析：（1）①已知兩對值代入T中計算求出a與b的值；
②根據(jù)題中新定義化簡已知不等式，根據(jù)不等式組恰好有3個整數(shù)解，求出p的范圍即可；
（2）由T（x，y）=T（y，x）列出關系式，整理后即可確定出a與b的關系式．

解答：解：（1）①根據(jù)題意得：T（1，-1）=

a-b

2-1

=-2，即a-b=-2；
T=（4，2）=

4a+2b

8+2

=1，即2a+b=5，
解得：a=1，b=3；
②根據(jù)題意得：

2m+3(5-4m) 4m+5-4m ≤4① m+3(3-2m) 2m+3-2m ＞p②

，
由①得：m≥-

1

2

；
由②得：m＜

9-3p

5

，
∴不等式組的解集為-

1

2

≤m＜

9-3p

5

，
∵不等式組恰好有3個整數(shù)解，即m=0，1，2，
∴2＜

9-3p

5

≤3，
解得：-2≤p＜-

1

3

；

（2）由T（x，y）=T（y，x），得到

ax+by

2x+y

=

ay+bx

2y+x

，
整理得：（x²-y²）（2b-a）=0，
∵T（x，y）=T（y，x）對任意實數(shù)x，y都成立，
∴2b-a=0，即a=2b．

點評：此題考查了分式的混合運算，解二元一次方程組，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．