Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，BC=10cm，AD=8cm．點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當點P到達點C時，點P與直線m同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．

（1）當t=2時，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；
（2）在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當△PEF的面積最大時，求線段BP的長；
（3）是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題,動點型

分析：（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；
（2）如答圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解．

解答：（1）證明：當t=2時，DH=AH=4，則H為AD的中點，如答圖1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF為AD的垂直平分線，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于點D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．

（2）解：如答圖2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AH

AD

，即

EF

10

=

8-2t

8

，解得：EF=10-

5

2

t．
S_△PEF=

1

2

EF•DH=

1

2

（10-

5

2

t）•2t=-

5

2

t²+10t=-

5

2

（t-2）²+10（0＜t＜3），
∴當t=2秒時，S_△PEF存在最大值，最大值為10，此時BP=3t=6．

（3）解：存在．理由如下：
①若點E為直角頂點，如答圖3①所示，
此時PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴

PE

AD

=

BP

BD

，即

2t

8

=

3t

5

，此比例式不成立，故此種情形不存在；
②若點F為直角頂點，如答圖3②所示，
此時PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．
∵PF∥AD，∴

PF

AD

=

CP

CD

，即

2t

8

=

10-3t

5

，解得t=

40

17

；

③若點P為直角頂點，如答圖3③所示．
過點E作EM⊥BC于點M，過點F作FN⊥BC于點N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴

EM

AD

=

BM

BD

，即

2t

8

=

BM

5

，解得BM=

5

4

t，
∴PM=BP-BM=3t-

5

4

t=

7

4

t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE²=EM²+PM²=（2t）²+（

7

4

t）²=

113

16

t²．
∵FN∥AD，∴

FN

AD

=

CN

CD

，即

2t

8

=

CN

5

，解得CN=

5

4

t，
∴PN=BC-BP-CN=10-3t-

5

4

t=10-

17

4

t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF²=FN²+PN²=（2t）²+（10-

17

4

t）²=

353

16

t²-85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF²=PE²+PF²，
即：（10-

5

2

t）²=（

113

16

t²）+（

353

16

t²-85t+100）
化簡得：

183

8

t²-35t=0，
解得：t=

280

183

或t=0（舍去）
∴t=

280

183

．
綜上所述，當t=

40

17

秒或t=

280

183

秒時，△PEF為直角三角形．

點評：本題是運動型綜合題，涉及動點與動線兩種運動類型．第（1）問考查了菱形的定義；第（2）問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值；第（3）問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識點，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．