Question

13．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度數；    
（2）∠DAE的度數；
（3）探究：小明認為如果條件∠B=70°，∠C=30°改成∠B-∠C=40°，也能得出∠DAE的度數？若能，請你寫出求解過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，然后根據角平分線定義得∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°；
（2）由于AD⊥BC，則∠ADE=90°，根據三角形外角性質得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B=20°，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD進行計算；
（3）根據三角形內角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C，再根據角平分線定義得∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），加上∠ADE=∠B+∠BAD=90°，則∠BAD=90°-∠B，然后利用角的和差得∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），即∠DAE的度數等于∠B與∠C差的一半．

解答 解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；
（3）能．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$×40°=20°．

點評 本題考查了三角形內角和定理，關鍵是根據三角形內角和是180°和三角形外角性質解答．