Question

1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，I是△ABC的內(nèi)心，延長AI交⊙O于D，連接BD，過I作直線EF分別交AB，AC于E，F(xiàn)，且AE=AF．
（1）求證：以D為圓心，DB為半徑的圓與EF相切；
（2）若BD=5，AD=9，BE•CF=4，求sin∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明DB=DI，DI⊥EF即可解決問題；
（2）由△EIB∽△FCI，推出EI•IF=BE•CF=4，推出EI=IF=2，由AD=9，BD=5，推出AI=9-5=4，在Rt△AIF中，AF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根據(jù)sin∠CBD=sin∠FAI=$\frac{IF}{AF}$，即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖，連接BI．
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠IAB=∠IAC，
∠IBA=∠IBC，
∵∠IAC=∠CBD，∠BID=∠IBA+∠IAB，∠DBI=∠CBD+∠IBC，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DB=DI，
∵AE=AF，∠IAE=∠IAF，
∴AI⊥EF，即DI⊥EF，
∴以D為圓心，DB為半徑的圓與EF相切．

（2）連接IC．
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BEI=∠CFI，
∵∠EID=90°=∠EIB+∠BID=∠EIB+∠BAI+∠ABI，
又∵∠BAI+∠ABI+∠ICF=90°，
∴∠BIE=∠ICF，
∴△EIB∽△FCI，
∴EI•IF=BE•CF=4，
∴EI=IF=2，
∵AD=9，BD=5，
∴AI=9-5=4，
在Rt△AIF中，AF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠CBD=sin∠FAI=$\frac{IF}{AF}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)心、解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．