Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為AB上一點，作CD⊥AB交⊙O于D，連接AD，將△ACD沿AD翻折至△AC′D．
（1）請你判斷C′D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）過點B作BB′⊥C′D′于B′，交⊙O于E，若CD=$\sqrt{21}$，AC=3，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAD=∠ADO，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠C′DA=∠CDA，于是得到結(jié)論；
（2）連接AE，BD，由AB是⊙O的直徑，得到AE⊥BE，AD⊥BD，推出四邊形AEB′C′是矩形，得到AC′=B′E，AE=C′B′，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC′=AC=3，C′D=CD=$\sqrt{21}$，根據(jù)平行線等分線段定理得到AO=BO，得到AE=2$\sqrt{21}$，根據(jù)射影定理得到CB=7，由勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）C′D是⊙O的切線，
理由：連接OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ADO，
∵將△ACD沿AD翻折至△AC′D，
∴∠C′DA=∠CDA，
∵CD⊥AB，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠C′DA=90°，
∴OD⊥C′D，
∴C′D是⊙O的切線；
（2）連接AE，BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AE⊥BE，AD⊥BD，
∵BB′⊥C′D′，
∴∠C′=∠B′=∠AEB′=90°，
∴四邊形AEB′C′是矩形，
∴AC′=B′E，AE=C′B′，
∵將△ACD沿AD翻折至△AC′D，
∵AC′=AC=3，C′D=CD=$\sqrt{21}$，
∵AC′⊥C′B′，OD⊥C′B′，
∴AC′∥OD∥BB′，
∵AO=BO，
∴C′B′=2C′D=2$\sqrt{21}$，
∴AE=2$\sqrt{21}$，
∵DC⊥AB，
∴CD²=AC•CB，
∴CB=7，
∴AB=10，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=4．

點評 本題考查了切線的判定，平行線等分線段定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，射影定理，折疊的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．