Question

18．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AC中點(diǎn)，∠ADF=∠CDB，連接CF交BD于E，求證：BD⊥CF．

Answer 1

分析 先延長DF交過A的垂線AG⊥AC于G，根據(jù)ASA證出△BDC≌△GDA，得出ACBG為正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC=BG，∠CBF=∠GBF=45°，從而證出△BCF≌△BGF，得出∠CFB=∠GFB=∠AFD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BDC=∠BCE，最后根據(jù)∠BEC=∠CDE+∠DCE=∠DCE+∠BCE=90°，即可得出結(jié)論．

解答 解：延長DF交過A的垂線AG⊥AC于G
∵BD為AC上的中線，
∴AD=CD，
在△BDC和△GDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠CDB}\\{AD=DC}\\{∠DAG=∠DCB}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△GDA（ASA），
∴AG=BC，
∴ACBG為正方形，
∴BC=BG，∠CBF=∠GBF=45°，
在△BCF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BG}\\{∠CBF=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△BGF（SAS），
∴∠CFB=∠GFB=∠AFD，
∴∠ADF=∠BCF，
∴∠BDC=∠BCE，
∴∠BEC=∠CDE+∠DCE=∠DCE+∠BCE=90°，
∴BD⊥CF．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，找出全等的三角形．