Question

10．在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，tan∠CBA=$\frac{1}{2}$．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）將（1）中拋物線向下平移m個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C平移后的位置分別為點(diǎn)A₁、B₁、C₁，若點(diǎn)D（10，5）滿足∠C₁B₁D=90°，求平移后拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．
（2）如圖作DG⊥A₁B₁于G，延長B₁A₁交y軸于E．由△EB₁C₁∽△GDB₁，可得$\frac{E{C}_{1}}{G{B}_{1}}$=$\frac{E{B}_{1}}{DG}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{6}{DG}$，推出DG=8，推出B₁（6，-3），推出原來拋物線向下平移3個(gè)即可得到新的拋物線，延長即可解決問題．

解答 解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴OB=6，
∵A（2，0），B在A右邊，
∴B（6，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），把（0，3）代入得到a=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3．

（2）如圖作DG⊥A₁B₁于G，延長B₁A₁交y軸于E．
∵∠C₁B₁G=90°，
∴△EB₁C₁∽△GDB₁，
∴$\frac{E{C}_{1}}{G{B}_{1}}$=$\frac{E{B}_{1}}{DG}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{6}{DG}$，
∴DG=8，
∴B₁（6，-3），
∴原來拋物線向下平移3個(gè)即可得到新的拋物線，
∴新的拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-2x．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、平移變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．