Question

17．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，∠ABO=30°，OB=3OC．
（1）試說明直線AC與直線AB垂直；
（2）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)求出OB，即可求得OC，再由三角函數(shù)求得∠ACO，即可解決問題；
（2）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA=$\sqrt{3}$，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分別求出P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）結(jié)論：AC⊥AB．理由如下：
∵A（$\sqrt{3}$，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，
∵∠ABO=30°，tan∠ABO=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BO=3，
∵OB=3OC，
∴OC=1，
∴tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∠ACO=60°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（2）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E，

∴∠DEA=∠AOC=90°，
∵tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∵∠DCB=60°
∵DB=DC，
∴△DBC是等邊三角形，
∵BA⊥DC，
∴DA=AC，
∵∠DAE=∠OAC，
在△ADE和△ACO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠AOC=90°}\\{∠DAE=∠CAO}\\{DA=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ACO，
∴DE=OC=1，AE=OA=$\sqrt{3}$
∴OE=2$\sqrt{3}$，
∴D的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$，1）；

（3）設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E，
把B（0，3）和D（-2$\sqrt{3}$，1）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{1=-2\sqrt{3}m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
令y=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=-3$\sqrt{3}$，
∴E（-3$\sqrt{3}$，0），
∴OE=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BEC=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
當(dāng)PA=AB時(shí)，如圖2，
此時(shí)，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P與E重合，
∴P的坐標(biāo)為（-3$\sqrt{3}$，0），
當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖3，
此時(shí)，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-$\sqrt{3}$，
令x=-$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴y=2，
∴P（-$\sqrt{3}$，2），
當(dāng)PB=AB時(shí)，如圖4，
∴由勾股定理可求得：AB=2$\sqrt{3}$，EB=6，
若點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P₁，
過點(diǎn)P₁作P₁F⊥x軸于點(diǎn)F，
∴P₁B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴EP₁=6-2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BEO=$\frac{F{P}_{1}}{E{P}_{1}}$，
∴FP₁=3-$\sqrt{3}$，
令y=3-$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=-3，
∴P₁（-3，3-$\sqrt{3}$），
若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P₂，
過點(diǎn)P₂作P₂G⊥x軸于點(diǎn)G，
∴P₂B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴EP₂=6+2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BEO=$\frac{G{P}_{2}}{E{P}_{2}}$，
∴GP₂=3+$\sqrt{3}$，
令y=3+$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=3，
∴P₂（3，3+$\sqrt{3}$），
綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，2），（-3，3-$\sqrt{3}$），（3，3+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．