Question

4．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A在第二象限，過點A作AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，若點A在直線y=-x上，且OA=3$\sqrt{2}$．
（1）求OB的長；
（2）如圖2，設N（0，n）是y軸上一動點，連結AN，作AM⊥AN，交x軸于點M（m，0），
①求m關于n的函數(shù)關系式；
②設直線y=-x與直線MN相交于點T，求當OM=$\frac{1}{3}$OB時的T點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到四邊形ABOC是正方形，根據(jù)正方形的性質得到AB=OB，即可得到結論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質得到BM=CN，于是得到m-（-3）=n-3，即可得到結論；②∵根據(jù)已知條件得到M（-1，0），N（0，5），求得直線MN的解析式為：y=5x+5，解方程組即可得到結論．

解答 解：（1）∵點A作AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∵∠BOC=90°，
∴四邊形ABOC是矩形，
∵點A在直線y=-x上，
∴OA平分∠BOC，
∴AB=AC，
∴矩形ABOC是正方形，
∴AB=OB，
∵OA=3$\sqrt{2}$，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=3；

（2）①∵∠CAB=∠MAN=90°，
∴∠BAM=∠NAC，
在△ABM與△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠ACN=90°}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴BM=CN，
即m-（-3）=n-3，
∴n=m+6；
②∵OM=$\frac{1}{3}$OB=$\frac{1}{3}$×3=1，
∴M（-1，0），N（0，5），
設直線MN的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{o=-k+b}\\{5=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=5}\\{\;}\end{array}\right.$
∴直線MN的解析式為：y=5x+5，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=5x+5}\\{y=-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{6}}\\{y=\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，
∴T點坐標為（-$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{6}$）．

點評 本題考查了求一次函數(shù)的解析式，正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，求直線的交點坐標，正確的理解題意是解題的關鍵，