Question

13．如圖，過原點(diǎn)的兩條拋物線y₁=mx²+nx，（m＜0，n＞0），y₂=-mx²+nx，（m＜0，n＞0），它們與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D、C，頂點(diǎn)分別為B、A，若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，n的值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先證明△AOC，△BOD都是等邊三角形，再根據(jù)BD=OD，列出方程即可解決問題．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD=OA=OB，
又根據(jù)對(duì)稱性可知，AC=AO，BO=BD，
∴AC=AO=CO，OB=OD=BD，
∴△AOC，△BOD是等邊三角形，
∵D（-$\frac{n}{m}$，0），B（-$\frac{n}{2m}$，-$\frac{{n}^{2}}{4m}$），
∴（-$\frac{n}{m}$）²=（（-$\frac{n}{m}$+$\frac{n}{2m}$）²+（$\frac{{n}^{2}}{4m}$）²，
∵m＜0，n＞0，
∴解得n=2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．