Question

10．如圖，已知∠ABC=90°，AB=BC，D為AC上的一點，分別過C點，A點作CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．
（1）若EC=5cm，EF=2cm，求AF的長；
（2）請?zhí)接慉F、EF、EC之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）；
（3）過B點在△ABC外作一條直線，分別過A、C兩點作直線的垂線段，垂足分別是F、E，請畫出圖形，并探討AF、EF、EC之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）可證得△ABF≌△BCE，得到BF=EC，AF=BE，再結(jié)合條件可求出BE=3，可得結(jié)論；
（2）EF=CE-AF，由△AEB≌△BFC，則AE=BF，CF=BE．結(jié)合圖形易證得結(jié)論；
（3）可證△AEB≌△BFC，則AE=BF，CF=BE．結(jié)合圖形易證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵AF⊥BF，CE⊥BF，
∴∠AFB=∠CEB=90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠ECB，
∴∠ABD=∠ECB，
在△ABF中△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ECB}\\{∠AFB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE，
∴BF=CE=5cm，AF=BE，
∵EF=2cm，
∴BE=BF-EF=5cm-2cm=3cm，
∴AF=3cm；
（2）∵△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，BF=CE，
∵BE+EF=BF，
∴EF=CE-AF；
（3）如圖，過B點在△ABC外作一條直線，分別過A、C兩點作直線的垂線段，垂足分別是F、E，
則EF=CE+AF，
∵AF⊥BF，CE⊥BF，
∴∠AFB=∠CEB=90°，
∴∠ABF+∠EBC=∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠ABF=∠ECB，
在△ABF中△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ECB}\\{∠AFB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠BEC}\\{∠ABF=∠ECB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，BF=CE，
∵EF=BF+BE，
∴EF=CE+AF．

點評 本題主要考查三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)，證明△ABF≌△BCE是解題的關(guān)鍵．