Question

2．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A（-1，0）和B（5，0）兩點，交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸于H，過點C作CF⊥l于F．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖2，當點F恰好在拋物線上時，求線段OD的長；
（3）在（2）的條件下：
①連接DF，求tan∠FDE的值；
②試探究在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)C的縱坐標求得F的坐標，然后通過△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的長；
（3）①先確定C、D、E、F四點共圓，根據(jù)圓周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于tan∠ECF=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，即可求得tan∠FDE=$\frac{1}{2}$；
②連接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，過D點作DG₁∥CE，交直線l于G₁，過D點作DG₂⊥CE，交直線l于G₂，則∠EDG₁=45°，∠EDG₂=45°，求得直線CE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，即可設(shè)出直線DG₁的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+m，直線DG₂的解析式為y=2x+n，把D的坐標代入即可求得m、n，從而求得解析式，進而求得G的坐標．

解答 解：（1）如圖1，

∵拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A（-1，0）和B（5，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{25a+5b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3；

（2）如圖2，

∵點F恰好在拋物線上，C（0，3），
∴F的縱坐標為3，
把y=3代入y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3得，3=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3；
解得x=0或x=4，
∴F（4，3）
∴OH=4，
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠EDH=90°，
∴∠OCD=∠EDH，
在△OCD和△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠EDH}\\{∠COD=∠DHE=90°}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HDE（AAS），
∴DH=OC=3，
∴OD=4-3=1；

（3）①如圖3，連接CE，DF，

△OCD≌△HDE，
∴HE=OD=1，
∵BF=OC=3，
∴EF=3-1=2，
∵∠CDE=∠CFE=90°，
∴C、D、E、F四點共圓，
∴∠ECF=∠EDF，
在RT△CEF中，∵CF=OH=4，
∴tan∠ECF=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠FDE=$\frac{1}{2}$；
②如圖4，連接CE，

∵CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CED=45°，
過D點作DG₁∥CE，交直線l于G₁，過D點作DG₂⊥CE，交直線l于G₂，則∠EDG₁=45°，∠EDG₂=45°
∵EH=1，OH=4，
∴E（4，1），
∵C（0，3），
∴直線CE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
設(shè)直線DG₁的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+m，
∵D（1，0），
∴0=-$\frac{1}{2}$×1+m，解得m=$\frac{1}{2}$，
∴直線DG₁的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
當x=4時，y=-$\frac{1}{2}×4$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴G₁（4，-$\frac{3}{2}$）；
設(shè)直線DG₂的解析式為y=2x+n，
∵D（1，0），
∴0=2×1+n，解得n=-2，
∴直線DG₂的解析式為y=2x-2，
當x=4時，y=2×4-2=6，
∴G₂（4，6）；
綜上，在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°，點G的坐標為（4，-$\frac{3}{2}$）或（4，6）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．