Question

13．如圖，點(diǎn)C在∠MAN的邊AM上，CD⊥AN，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)B在邊AN上運(yùn)動(dòng)，∠BCA的平分線交AN于點(diǎn)E．
（1）若∠A=30°，∠B=70°，求∠ECD的度數(shù)；
（2）若∠A=α，∠B=β，求∠ECD的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB，由平分線性質(zhì)可知∠ECB=40°，由三角形的內(nèi)角和定理可得∠DCB；
（2）利用分類(lèi)討論的思想，情況一：β＞α，情況二：β＜α?xí)r，∠ECD=$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β；情況三：β=α?xí)r，∠ECD=0°；

解答 解：（1）如圖，在△ABC中，
∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=40°，
在△BCD中，
∵CD⊥AN，∠B=70°，
∴∠DCB=20°，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=20°；

（2）情況一：β＞α，
①β＜90°時(shí)，∠ECD=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α，
②β=90°時(shí)，∠ECD=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α，
③β＞90°時(shí)，∠ECD=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α；
情況二：β＜α?xí)r，∠ECD=$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β；
情況三：β=α?xí)r，∠ECD=0°；
綜上所述，$∠ECD=\frac{|α-β|}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．