Question

3．已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的長； 
（2）求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由在菱形ABCD中，∠1=∠2，可證得CM=DM，又由ME⊥CD，即可得E是CD的中點，繼而求得答案；
（2）由在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，E是CD的中點，則可證得△FCM≌△ECM（SAS），則可得DF⊥BC，繼而證得BD=CD=AB，繼而證得△BCD是等邊三角形，則可求得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴CM=DM，
∵ME⊥CD，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴BC=CD=2；

（2）連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CB=CD，∠ACB=∠ACD，
∵F為邊BC的中點，
∴CF=$\frac{1}{2}$CB，
∵CE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CE=CF，
在△MCF和△NCE，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠FCM=∠ECM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△FCM≌△ECM（SAS），
∴∠CFM=∠CEM=90°，
∴DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴BC=CD=BC，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．