Question

13．已知C點在直線MN上，∠ACB=90°，AC=BC，AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分別是M、N．求證：MN=AM-BN．

Answer 1

分析 利用同角的余角相等求出∠CAM=∠BCN，再利用“角角邊”證明△ACM和△CBN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM=CN，CM=BN，再根據(jù)MN=CN-CM等量代換即可得證．

解答 證明：∵AM⊥MN，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠CAM=∠BCN，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
在△ACM和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠BCN}\\{∠AMC=∠CNB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∵MN=CN-CM，
∴MN=AM-BN．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．