Question

13．如圖：直線y=kx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BM，作線段BN的垂直平分線l₁，過(guò)點(diǎn)M作x軸垂線l₂ 記l₁與l₂的交點(diǎn)為P．
（1）求直線y=kx+3的解析式；
（2）改變點(diǎn)M的位置，可得到相應(yīng)的點(diǎn)P，把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)，就是點(diǎn)P所在函數(shù)的圖象．請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)的圖象，并求出點(diǎn)P所在函數(shù)的解析式；
（3）求PB的最小值；
（4）點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△PBM為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切值，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得BM的解析式，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得PC的解析式，根據(jù)自變量的值，可得函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)勾股定理、完全平方公式，可得答案；
（4）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得B、E點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，根據(jù)解方程，可得x值，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，可得答案．

解答 解：（1）∵直線y=kx+3與y軸分別交于B點(diǎn)，
∴B（0，3），
∵tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，
∴OA=4，
∴A（4，0），
∵直線y=kx+3過(guò)A（4，0），
∴4k+3=0，
∴k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
BM中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}$，$\frac{3}{2}$）
BM的解析式為y=-$\frac{3}{a}$x+3，
設(shè)PC的函數(shù)解析式為y=$\frac{a}{3}$x+b，
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
b=$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{6}$，
PC的函數(shù)解析式為y=$\frac{a}{3}$x+$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{6}$，
當(dāng)x=a設(shè)，y=$\frac{1}{6}$a²+$\frac{3}{2}$，
P點(diǎn)的函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{6}$x²+$\frac{3}{2}$；
（3）PB_最小=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{6}{x}^{2}+\frac{3}{2}-3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{6}{x}^{2}+\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$；
（4）存在點(diǎn)P，使△PBM為等邊三角形，理由如下：
BE⊥MP，BE∥x軸，
$\frac{1}{6}$x²+$\frac{3}{2}$=6．
解得x₁=3$\sqrt{3}$，x₂=-3$\sqrt{3}$，
P₁（3$\sqrt{3}$，6），P₂（-3$\sqrt{3}$，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段垂直平分線的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，利用線段垂直平分線得出PC的解析式是解（2）的關(guān)鍵，利用等邊三角形的性質(zhì)是解（3）的關(guān)鍵．