Question

5．如圖，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是BC邊上的點，過F點的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與AC邊交于點E．若將△CEF沿EF翻折后，點C恰好落在OB上的點D處，則點F的坐標(biāo)為（4，$\frac{21}{32}$）．

Answer 1

分析 過點E作ED⊥OB于點D，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=DF，易證Rt△MEM∽Rt△BMF；而EC=AC-AE=4-$\frac{k}{3}$，CF=BC-BF=3-$\frac{k}{4}$，得到EM=4-$\frac{k}{3}$，MF=3-$\frac{k}{4}$，即可得$\frac{EM}{MF}$的比值；故可得出EM：MB=ED：MF=4：3，而ED=3，從而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到關(guān)于k的方程，解方程求出k的值即可得到F點的坐標(biāo)．

解答 解：∵將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上的M點處，
∴∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=MF，
∴∠DME+∠FMB=90°，
而ED⊥OB，
∴∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠FMB，
∴Rt△DEM∽Rt△BMF；
又∵EC=AC-AE=4-$\frac{k}{3}$，CF=BC-BF=3-$\frac{k}{4}$，
∴EM=4-$\frac{k}{3}$，MF=3-$\frac{k}{4}$，
∴$\frac{EM}{MF}$=$\frac{4-\frac{k}{3}}{3-\frac{k}{4}}$=$\frac{4}{3}$；
∴ED：MB=EM：MF=4：3，而ED=3，
∴MB=$\frac{9}{4}$，
在Rt△MBF中，MF²=MB²+MF²，即（3-$\frac{k}{4}$）²=（$\frac{9}{4}$）²+（$\frac{k}{4}$）²，
解得k=$\frac{21}{8}$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{21}{8x}$，
把x=4代入得y=$\frac{21}{32}$，
∴F點的坐標(biāo)為（4，$\frac{21}{32}$）．
故答案為（4，$\frac{21}{32}$）．

點評 本題涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)等知識，難度適中．