Question

17．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=AO，CF=CO．
（1）求∠EOF的度數(shù)；
（2）畫△COG，使△COG與△AOE關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱；
（3）若OE=4$\sqrt{2}$，OF=6，求AC的長．

Answer 1

分析 解：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得∠2=∠AEO，∠3=∠CFO，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠1=180°-2∠2，∠4=180°-2∠3，則可計(jì)算出∠2+∠3=135°，然后利用平角的定義可計(jì)算出∠EOF=45°；
（2）利用平行四邊形為中心對稱圖形，于是延長EO交BC于G，則△COG為所作；
（3）作FH⊥EG于H，連結(jié)GF，如圖，易得△OFH為等腰直角三角形，所以FH=HO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OF=3$\sqrt{2}$，則利用中心對稱的性質(zhì)得OG=OE=4$\sqrt{2}$，CG=AE，接著根據(jù)勾股定理計(jì)算出GF=2$\sqrt{29}$，然后證明△CGF為等腰直角三角形得到CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GF=$\sqrt{58}$，于是得到AC=2CG=2$\sqrt{58}$．

解答 解：（1）∵AE=AO，CF=CO．
∴∠2=∠AEO，∠3=∠CFO，
∴∠1=180°-2∠2，∠4=180°-2∠3，
而∠1+∠4=90°，
∴360°-2（∠2+∠3）=90°，
∴∠2+∠3=135°，
∴∠EOF=180°-（∠2+∠3）=45°；
（2）延長EO交BC于G，如圖，則△COG為所作；
（3）作FH⊥EG于H，連結(jié)GF，如圖，
∵∠EOF=45°，
∴△OFH為等腰直角三角形，
∴FH=HO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$，
∵△COG與△AOE關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，
∴OG=OE=4$\sqrt{2}$，CG=AE，
∴GH=OG+OH=7$\sqrt{2}$，
在Rt△GFH中，GF=$\sqrt{G{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{（7\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{29}$，
∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，
∴CG=OC=CF，
∴△CGF為等腰直角三角形，
∴CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{29}$=$\sqrt{58}$，
∴AC=2CG=2$\sqrt{58}$．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．解決（3）小題的根據(jù)是利用45°構(gòu)建等腰直角三角形．