Question

【題目】(1) 發(fā)現(xiàn)：

如圖1，點(diǎn)是線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，．當(dāng)點(diǎn)位于 時(shí)，線段的長(zhǎng)取得最大值；最大值為 (用含，的式子表示)．

(2)應(yīng)用：

如圖2，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，，，分別以，為邊在外部作等邊和等邊，連接，．

①求證：；

②直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)的最大值．

(3)拓展：

如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）線段的延長(zhǎng)線上，；（2）①證明見(jiàn)解析；②3；③，（2-，）或（2-，-）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2，BN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為；如圖2，過(guò)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，

∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，

故答案為：CB的延長(zhǎng)線上，a+b；

（2）①證明: ∵是等邊三角形.

∴，，

∵是等邊三角形，

∴， ，

∴，

∴，

∴.

在與中，

∴（），

∴.即.

②∵線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，

由（1）知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，

∴最大值為BD+BC=AB+BC=3；.

（3）如圖1，

∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=3，BN=AM，

∵A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），

∴OA=3，OB=5，

∴AB=2，

∴線段AM長(zhǎng)的最大值=線段BN長(zhǎng)的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN=AP=3，

∴最大值為3+2；

如圖2，

過(guò)P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE=，

∴OE=BO-AB-AE=5-3-=2-，

∴P（2-，）．

如圖3中，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，P（2-，-）時(shí)，也滿足條件．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)（2-，）或（2-，-），AM的最大值為3+2．