Question

如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，5）和點(diǎn)B（-5，p），?ABCD的頂點(diǎn)C、D分別在y軸的負(fù)半軸、x軸的正半軸上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C、D．
（1）求直線AB的表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)E在第四象限的二次函數(shù)圖象上，且∠DCE=∠BDO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

k

x

．由A的坐標(biāo)可求出k的值，B的橫坐標(biāo)已知，所以可求出縱坐標(biāo)，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=mx+n，分別把A，B坐標(biāo)代入求出m和n的值即可；
（2）由□ABCD中，AB∥CD，可設(shè)設(shè)CD的表達(dá)式為y=x+c，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對邊相等即可求出c的值；
（3）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx-3，由已知條件易求a和b的值，作EF⊥y軸，BG⊥y軸，垂足分別為F、G．設(shè)CF=3t，則EF=5t，OF=3-3t，代入拋物線的解析式求出t的值即可．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

k

x

．
∵它圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，5）和點(diǎn)B（-5，p），
∴5=

k

-2

，
∴k=-10，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

10

x

．
∴p=-

10

-5

=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，2）．
設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=mx+n，
則

5=-2m+n 2=-5m+n

，
∴

m=1 n=7

，
∴直線AB的表達(dá)式為y=x+7；
（2）由□ABCD中，AB∥CD，設(shè)CD的表達(dá)式為y=x+c，
∴C（0，c），D（-c，0），
∵CD=AB，
∴CD²=AB²
∴c²+c²=（-5+2）²+（2-5）²，
∴c=-3，
∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是（0，-3）、（3，0）；
（3）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx-3，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D．
∴

5=4a-2b-3 0=9a+3b-3

，
∴

a=1 b=-2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3．
作EF⊥y軸，BG⊥y軸，垂足分別為F、G．
∵OC=OD，BG=CG，
∴∠BCG=∠OCD=∠ODC=45°．
∴∠BCD=90°，
∵∠DCE=∠BDO，
∴∠ECF=∠BDC，
∴tan∠ECF=tan∠BDC=

BC

CD

=

(0+5)2+(3+2)2

(3-0)2+(0+3)2

=

5

3

，
設(shè)CF=3t，則EF=5t，OF=3-3t，
∴點(diǎn)E（5t，3t-3），
∴3t-3=25t²-10t-3，
∴t=0（舍）或

13

25

，
∴點(diǎn)E（

13

5

，-

36

25

）．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角形的運(yùn)用和兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．