Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠A=90°，點E在AD邊上，AE＞DE，BE=BC，點O是線段CE的中點．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）求證：△CDE∽△BOC；
（3）延長ED到點F，連接CF、OF，試說明四邊形BCFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）先判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，再由有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可；
（2）先判斷出∠BCO+∠DCE=90°，再判斷出△BCE是等腰三角形，從而得出OB⊥CE，用同角的余角相等得出∠OBC=∠DCE，即可；
（3）先判斷出△BOC≌△POE，得出OB=OF，從而判斷出四邊形BCFE是平行四邊形，再用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠A=90°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠A=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形；
（2）由（1）知四邊形ABCD是矩形，
∴∠CDE=∠BCD=90°，
∴∠BCO+∠DCE=90°
∵點O是線段CE的中點．
∴OC=OE
∵BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴OB⊥CE，
∴∠BOC=∠CDE=90°，
∴∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠DCE，
∵∠BOC=∠CDE=90°，
∴△BOC∽△CDE；
（3）由（1）知，AD∥BC，
∴∠OBC=∠OFE，
∵點O是線段CE的中點．
∴OC=OE
在△BOC和△POE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠OFE}\\{∠BOC=∠FOE}\\{OC=OE}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△POE，
∴OB=OF，
∵OC=OE，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
由（2）知，BF⊥CE，
∴平行四邊形BCFE是菱形．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了平行四邊形，矩形，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是△BCE是等腰三角形，是一道比較簡單的中考�？碱}．