Question

如圖，△ABC的內(nèi)心為I，M、N分別是ABAC的中點，AB＞AC，內(nèi)切圓⊙I與邊BC，CA相切于D，E，證明：MN，BI，DE三線共點．

Answer 1

考點：圓的綜合題,三角形中位線定理,切線長定理,三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：設MN與BI的延長線的交點為F₁，MN與DE的延長線的交點為F₂，只需證明F₁與F₂重合，只需證明MF₁=MF₂，易證MF₁=MB，只需證明MF₂=MB，而MF₂=MN+NF₂，易證NF₂=NE，只需證明MB=MN+NE，只需證明MB=MN+NC-EC，只需運用切線長定理就可解決問題．

解答：證明：設MN與BI的延長線的交點為F₁，MN與DE的延長線的交點為F₂，如圖．
∵M、N分別是AB、AC的中點，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC，
∴∠MF₁B=∠CBF₁．
∵點I為△ABC的內(nèi)心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABF₁=∠CBF₁．
∴∠MF₁B=∠ABF₁，
∴MF₁=MB．
∵內(nèi)切圓⊙I與邊BC、CA、AB相切于D、E、G，
∴AG=AE，BG=BD，CD=CE，
∴2CE=AC+BC-AB，
∴CE=

AC+BC-AB

2

．
∵MN∥BC，CD=CE，∠NEF₂=∠CED
∴∠NF₂E=∠EDC=∠DEC=∠NEF₂，
∴NF₂=NE，
∴MF₂=MN+NF₂=MN+NE=

BC

2

+NC-EC
=

BC

2

+

AC

2

-

AC+BC-AB

2

=

AB

2

=MB=MF₁，
∴點F₁與點F₂重合，
∴MN，BI，DE三線共點．

點評：本題考查了切線長定理、切線的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解決本題的關(guān)鍵是把“證明MN，BI，DE三線共點”轉(zhuǎn)化為證明“MN與BI延長線的交點”與“MN與DE延長線的交點”重合．