Question

如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)C，⊙O與AB相交于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為5，

AD

CD

=

1

2

，求DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD．欲證ED與⊙O相切，只需證明OD⊥DE；
（2）通過相似三角形△ADC∽△CDB的對應(yīng)邊成比例知

BC

AC

=

DC

AD

，由此可以求得線段BC的長度，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求得．

解答：（1）證明：連接OD．
∵BC是⊙O⊙的切線，AC是直徑，
，∴∠ACB=90°，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC
∴DE為直角△DCB斜邊的中線，
∴DE=CE=

1

2

BC．
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵

AD

CD

=

1

2

，
∴設(shè)AD=x，CD=2x，
∵AC=5，AD²+DC²=AC²，
∴x²+（2x）²=5²，
∴x=1，
即AD=1，CD=2，
在Rt△BDC和Rt△ADC中，∠ADC=∠BDC=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵△ADC∽△CDB，
∴

BC

AC

=

DC

AD

，
即

BC

5

=

2

1

，
∴BC=10．
∴DE=

1

2

BC=5．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)．圓心到一條直線的距離等于該圓的半徑，則該直線就是圓的一條切線．