Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，射線AM平分∠BAC．
（1）設(shè)AM交BC于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF．有以下三種“判斷”：
判斷1：AD垂直平分EF．
判斷2：EF垂直平分AD．
判斷3：AD與EF互相垂直平分．
你同意哪個“判斷”？簡述理由；
（2）若射線AM上有一點N到△ABC的頂點B，C的距離相等，連接NB，NC．
①請指出△NBC的形狀，并說明理由；
②當(dāng)AB=11，AC=7時，求四邊形ABNC的面積．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：判斷3正確．只要證明四邊形AEDF是正方形即可解決問題．
（2）①△BCN是等腰直角三角形．如圖作NE⊥AB于E，F(xiàn)N⊥AC于F．只要證明△NEB≌△NFC，四邊形AENF是正方形即可解決問題．
②由△NEB≌△NFC，推出S_△NEB=S_△NFC，推出S_{四邊形ABNC}=S_{正方形AENF}，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，判斷3正確．理由如下：

∵∠BAC=90°，DE⊥ABDF⊥AC，
∴DE=DF，∴∠AED=∠AFD=∠EAF=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，∵DE=DF，
∴四邊形AEDF是正方形，
∴AD與EF互相垂直平分．
故判斷3正確．

（2）①結(jié)論：△BCN是等腰直角三角形．理由如下：
如圖作NE⊥AB于E，F(xiàn)N⊥AC于F．

∵MA是∠BAC的平分線，
∴NE=NF，
在Rt△NEB和Rt△NFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{NB=NC}\\{NE=NF}\end{array}\right.$，
∴△NEB≌△NFC，
∴BE=CF，∠BNE=∠CNF，
易知四邊形AENF是正方形，
∴AE=AF，∠BNC=∠ENF=90°，
∴△BNC是等腰直角三角形．

②∵AB+AC=（AE+BE）+（AF-CF）=2AE=18，
∴AE=AF=9，
∵△NEB≌△NFC，
∴S_△NEB=S_△NFC，
∴S_{四邊形ABNC}=S_{正方形AENF}=9²=81．

點評 本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．