Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{6}$，AD=10．連接BD，∠DBC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E，現(xiàn)把△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的△BCE為△BC′E′．當(dāng)射線BE′和射線BC′都與線段AD相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)分別為F，G．若△BFD為等腰三角形，則線段DG長(zhǎng)為$\frac{98}{17}$．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì)，尋找等角，等角對(duì)等邊，構(gòu)造相似三角形，利用對(duì)應(yīng)線段成比例，即可得答案．

解答 解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{6}）^{2}+1{0}^{2}}$=14，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得：
BF²=（4$\sqrt{6}$）²+（10-BF）²，
解得BF=$\frac{49}{5}$，
AF=10-$\frac{49}{5}$=$\frac{1}{5}$．
過(guò)G作GH∥BF，交BD于H，
∴∠FBD=∠GHD，∠BGH=∠FBG，
∵FB=FD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴∠FDB=∠GHD，
∴GH=GD，
∵∠FBG=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ADB=$\frac{1}{2}$∠FBD，
又∵∠FBG=∠BGH，∠FBG=∠GBH，
∴BH=GH，
設(shè)DG=GH=BH=x，則FG=FD-GD=$\frac{49}{5}$-x，HD=14-x，
∵GH∥FB，
∴$\frac{FD}{GD}=\frac{BD}{HD}$，即$\frac{\frac{49}{5}}{x}=\frac{14}{14-x}$，
解得x=$\frac{98}{17}$．
故答案為：$\frac{98}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正切函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．