Question

18．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，連結(jié)CM，DM．
（1）求證：∠CMD=∠BCM+∠ADM；
（2）若AD=8，AM=6，CD=CM=5$\sqrt{2}$，求四邊形AMCD的面積；
（3）在（2）的情況下，連結(jié)AC，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)M作MN∥AD（如圖），根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DMN=∠ADM，∠CMN=∠BCM，于是得到∠DMN+∠CMN=∠ADM+∠BCM，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到MD=$\sqrt{{6^2}+{8^2}}=10$，由于CD=CM=$5\sqrt{2}$，于是得到$C{D^2}+C{M^2}={（5\sqrt{2}）^2}+{（5\sqrt{2}）^2}=100=D{M^2}$，即可得到結(jié)論；
（3）連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BAD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DCE=∠MCB，推出△CDE≌△CMB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=CB，S_△CDE=S_△CMB，由S_{四邊形ABCE}=S_△CBM+S_{四邊形AMCE}，S_{四邊形AMCD}=S_△CDE+S_{四邊形AMCE}，得到S_{四邊形ABCE}=S_{四邊形AMCD}=49，通過(guò)Rt△ACE≌Rt△ACB，得到∠ACB=∠ACE=45°，S_△ACE=S_△ACB=$\frac{49}{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AD（如圖），
∴∠DMN=∠ADM，
∵AD∥BC，
∴MN∥BC，
∴∠CMN=∠BCM，
∴∠DMN+∠CMN=∠ADM+∠BCM，
即∠CMD=∠BCM+∠ADM；

（2）解：∵AD=8，AM=6，∠BAD=90°，
∴MD=$\sqrt{{6^2}+{8^2}}=10$，
∵CD=CM=$5\sqrt{2}$，
∴$C{D^2}+C{M^2}={（5\sqrt{2}）^2}+{（5\sqrt{2}）^2}=100=D{M^2}$，
∴△CDM為直角三角形，且∠DCM=90°，
∴S_{四邊形AMCD}=S_△CDM+S_△ADM=$\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×{（5\sqrt{2}）^2}=49$；

（3）解：連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠BAD=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠BCE=90°，
∴∠B=∠CED，
∵∠DCM=90°，∠BCE=90°，
即∠DCE+∠ECM=90°∠BCM+∠ECM=90°，
∴∠DCE=∠MCB，
在△CDE與△CMB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠B=90°}\\{∠DCE=∠BCM}\\{CD=CM}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CMB，
∴CE=CB，S_△CDE=S_△CMB，
∵S_{四邊形ABCE}=S_△CBM+S_{四邊形AMCE}，S_{四邊形AMCD}=S_△CDE+S_{四邊形AMCE}，
∴S_{四邊形ABCE}=S_{四邊形AMCD}=49，
在Rt△ACE與Rt△ACB中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CB}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△ACB，
∴∠ACB=∠ACE=45°，S_△ACE=S_△ACB=$\frac{49}{2}$，
∵∠B=90°，∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴AB=BC，
∵S_△ACB=$\frac{49}{2}$，∴$\frac{1}{2}×A{B^2}=\frac{49}{2}$，
∴AB=7，
∴AC=$\sqrt{{7^2}+{7^2}}=7\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．