Question

3．△ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的中線，若BD等于△ABC的一邊時，則tanC=$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設AD=DC=x，則AB=AC=2x，設BC=4y．作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2y，由三角形中位線定理得出EF=FC=$\frac{1}{2}$EC=y．在直角△CDF與直角△BDF中，根據(jù)勾股定理求出DF²=CD²-FC²=x²-y²，BD²=DF²+BF²=x²-y²+（3y）²=x²+8y²．再分兩種情況進行討論：①如果BD等于腰長，根據(jù)BD=2x列出方程；②如果BD等于底邊長，根據(jù)BD=4y列出方程．

解答 解：設AD=DC=x，則AB=AC=2x，設BC=4y．
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2y，
∵AD=DC，DF∥AE，
∴EF=FC=$\frac{1}{2}$EC=y．
在直角△CDF中，∵∠CFD=90°，
∴DF²=CD²-FC²=x²-y²，
在直角△BDF中，∵∠BFD=90°，
∴BD²=DF²+BF²=x²-y²+（3y）²=x²+8y²．
分兩種情況：
①如果BD等于腰，即BD=2x，
則x²+8y²=4x²，
解得x²=$\frac{8}{3}$y²，
DF²=x²-y²=$\frac{5}{3}$y²，
在直角△CDF中，tanC=$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{3}y}{y}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
②BD等于底邊，即BD=4y，
則x²+8y²=16y²，
解得x²=8y²，
DF²=x²-y²=7y²，
在直角△CDF中，tanC=$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\sqrt{7}y}{y}$=$\sqrt{7}$．
故答案為$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，有一定難度．準確作出輔助線構造直角三角形，利用分類討論、數(shù)形結合是解題的關鍵．