Question

在等邊△ABC中，邊AB=2cm，點D是邊BC的中點，點E是從點B沿B→A→C的方向開始運動的一個動點，速度為1cm/s，當(dāng)E點運動t秒時，

（1）當(dāng)△BED是直角三角形時，求t的值；
（2）當(dāng)DE將△ABC的周長分成的兩部分之間是2倍的關(guān)系時，求t的值；
（3）當(dāng)點E只在邊AC上運動時，是否存在一點E使得DE+BE的值取得最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，請直接寫出此時DE+BE的最小值（不要求寫過程）．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,一元一次方程的應(yīng)用,含30度角的直角三角形

專題：分類討論

分析：（1）分兩種情況討論即可求得；
（2）由于動點E從B點出發(fā)，沿B→A→C的方向運動，所以分兩種情況進行討論：（1）E點在AB上，設(shè)運動時間為t，用含t的代數(shù)式分別表示BE，AE，根據(jù)條件過D、E兩點的直線將△ABC的周長分成兩個部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t值；（2）E點在AC上，同理，可解出t的值．
（3）作B關(guān)于AC的對稱點B′，然后連接BD交AC于E，即為所求；此時DE+BE=B′D，作BG⊥BC于G，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)求得B′G=

3

，BG=3，進而求得DG，根據(jù)勾股定理即可求得．

解答：解：（1）分兩種情況：

當(dāng)∠BED=90°時，
如圖1，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=

1

2

BD，
∵AB=AC=BC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，
∴BE=

1

2

cm，
∴t=

1

2

秒；
當(dāng)∠BDE=90°時，
∵△ABC是等邊三角形，BD=DC，
∴E與A重合，
∴BE=AB=2cm．
∴t=2秒
（2）分兩種情況：

E點在AB上時，如圖，
∵AB=AC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，
設(shè)E點運動了t秒，則BE=t，AE=2-t，由題意得：
BE+BD=

1

2

（AE+AC+CD），
∴t+1=

1

2

（2-t+2+1），
解得t=1秒；
E點在AC上時，如圖，
∵AB=AC=BC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，E點運動了t秒，
則AB+AE=t，EC=AB+AC-t=4-t，
由題意得：BD+AB+AE=2（EC+CD），
∴1+t=2（4-t+1），
解得t=3秒．
故當(dāng)t=1或3秒時，DE把△ABC的周長分成的兩部分之間是2倍的關(guān)系．
（3）作B關(guān)于AC的對稱點B′，然后連接BD交AC于E，即為所求；此時DE+BE=B′D；
作BG⊥BC于G，

∴△ABC是等邊三角形，BC=2，
∴∠B′BC=30°，B′B=2

3

，
∴B′G=

3

，BG=3，
∵BD=CD=1，
∴DG=2，
在RT△B′GD中，B′D=

DG2+B′G2

=

7

．
∴DE+BE的最小值=

7

．

點評：此題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，還涉及到了動點，對于初二學(xué)生來說是個難點，解答此題時要分兩種情況討論，不要漏解．